Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）试确定a，b的符号；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[b，a]上有最大值为a-b²，试求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求得函数f（x）的导数，求出切线的斜率，即可得到a，b的关系式，从而确定a，b的符号；
（Ⅱ）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间，进而得到极大值点和极小值点，对a讨论，①当0＜a≤3时，②当a＞3时，求得最大值，解方程即可得到所求a的值．

解答： 解：（I）f'（x）=3ax²+2bx，
由f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，得f'（2）=0，∴b=-3a，
又a＞b，∴a＞0，b＜0．
（II）令f'（x）=3ax²-6ax=0，得x=0，或x=2，
易证x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点．
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3，
（1）当0＜a≤3时，f（x）_max=f（0）=0，∴a-b²=0，
由

a-b2=0 b=-3a

，解得a=

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，符合条件0＜a≤3；
（2）当a＞3时，f(x)max=f(a)=a4+a2b，
∴a⁴+a²b=a-b²，把b=-3a代入并化简，得a³-3a²+9a-1=0，
设g（a）=a³-3a²+9a-1（a＞3），
∵g'（a）=3a²-6a+9=3（a-1）²+6＞0，
∴g（a）在a∈（3，+∞）上是增函数，∴当a＞3时，g（a）＞g（3）=26＞0，
∴g（a）=0在（3，+∞）上无实数根，
综上所述，a=

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．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，函数的单调性的应用，考查运算能力，属于中档题．