在极坐标系中.曲线C1:ρsin2θ=4cosθ.以极点为坐标原点.极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy.曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．(1)求C1.C2的直角坐标方程,(2)若曲线C1与曲线C2交于A.B两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

5．在极坐标系中，曲线C₁：ρsin²θ=4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求C₁、C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|•|PB|的值．

分析（1）曲线C₁的极坐标方程转化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C₁的直角坐标方程，曲线C₂的参数方程消去参数t，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）曲线C₂的参数方程代入y²=4x，得3t²-8t-32=0，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答（本题满分 10 分）
解：（1）∵曲线C₁：ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为y²=4x．
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∴曲线C₂消去参数t，得曲线C₂的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0．
（2）曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=4x，
得$\frac{3}{4}{t}^{2}$=8+2t，即3t²-8t-32=0，
△=（-8）²-4×3×（-32）=448＞0，
t₁•t₂=-$\frac{32}{3}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

点评本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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