Question

1．已知某圆的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，求：
（1）圆的标准方程和参数方程；
（2）在圆上所有的点（x，y）中x•y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，即ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，利用互化公式可得直角坐标方程，再利用平方关系即可得出参数方程．
（2）设圆上的点$（2+\sqrt{2}cosθ，2+\sqrt{2}sinθ）$，则xy=4+2$\sqrt{2}$sinθ+2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin$（θ+\frac{π}{4}）$=t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，可得xy=4+2$\sqrt{2}$t+t²-1，即可得出．

解答 解：（1）ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，即ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，
可得x²+y²-4x-4y+6=0，配方为：（x-2）²+（y-2）²=2．
可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设圆上的点$（2+\sqrt{2}cosθ，2+\sqrt{2}sinθ）$，
则xy=4+2$\sqrt{2}$sinθ+2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθcosθ，
令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin$（θ+\frac{π}{4}）$=t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
则t²=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
则xy=4+2$\sqrt{2}$t+t²-1=$（t+\sqrt{2}）^{2}$+1∈[1，9]．
∴xy的最大值最小值分别为1，9．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．