Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且 ＝2.

(1)求椭圆的方程；

(2)求m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由题意知a＝2，b＝c，又a²＝b²＋c²，则b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，

得

则(2＋k²)x²＋2mkx＋m²－4＝0，

Δ＝(2mk)²－4(2＋k²)(m²－4)＞0.

由根与系数的关系知

又由＝2，

即(－x₁，m－y₁)＝2(x₂，y₂－m)，

得－x₁＝2x₂，故

可得

整理得(9m²－4)k²＝8－2m²，又9m²－4＝0时不符合题意，所以k²＝＞0，解得＜m²＜4，此时Δ＞0，解不等式＜m²＜4得＜m＜2或－2＜m＜－，

所以m的取值范围为.