Question

9．已知定义在R上的函数f（x）=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x+2018，若对任意的x∈R，不等式f（3x-2）+f（x）＞4036恒成立，则实数x的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-2018，则g（x）为奇函数且为增函数，于是不等式等价于g（3x-2）＞g（-x），从而3x-2＞-x．

解答 解：设g（x）=f（x）-2018=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）-2017^-x，
则g（-x）=2017^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x=2017^-x-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^x=-g（x），
∴g（x）是奇函数．
∵g（x）=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）-2017^-x在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）在R上是函数．
∵f（3x-2）+f（x）＞4036，即f（3x-2）-2018＞2018-f（x），
∴g（3x-2）＞-g（x）=g（-x），
∴3x-2＞-x，解得x＞$\frac{1}{2}$．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的应用，属于中档题．