Question

13．双曲线mx²-3y²=3m的离心率e是方程2x²-5x+2=0的一个根，求：
（1）此双曲线的虚轴的长．
（2）与双曲线及双曲线的两渐近线都相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的离心率，然后求解双曲线方程，即可得到双曲线的虚轴的长．
（2）求出双曲线的渐近线方程，设出圆的圆心与半径，列出方程求解即可．

解答 解：（1）方程2x²-5x+2=0的根，分别为：$\frac{1}{2}$和2，双曲线mx²-3y²=3m的离心率e是方程2x²-5x+2=0的一个根，可得e=2，
双曲线mx²-3y²=3m化为：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$，可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{m}$，c=2$\sqrt{3}$．
所以：12=3+m，解得m=9．
（2）由（1）可知双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
双曲线的渐近线方程为：y=$±\sqrt{3}x$．
设圆的圆心为：（t，0），t∈（0，$\sqrt{3}$）则圆的半径为：$\sqrt{3}-t$，
圆与双曲线及双曲线的两渐近线都相切，可得：$\frac{|\sqrt{3}t|}{\sqrt{1+3}}=\sqrt{3}-t$，
解得t=4$\sqrt{3}$-6．
圆的圆心坐标为：（4$\sqrt{3}-$6，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）半径为：6-3$\sqrt{3}$．
所求圆的方程为：（x+6-4$\sqrt{3}$）²+y²=（6-3$\sqrt{3}$）²．或（x-6+4$\sqrt{3}$）²+y²=（6-3$\sqrt{3}$）²．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，圆与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．