Question

20．（1）求函数f（x）=ln（1+x）-x的最大值；
（2）求证：$\frac{{2x{e^x}}}{x+2}$＞$\frac{{{e^x}ln（1+x）}}{x}$-1在x＞0上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出x的值，得到函数的最大值即可；
（2）原不等式等价于：e^-x+$\frac{2x}{x+2}$＞$\frac{ln（1+x）}{x}$，令f（x）=e^-x+$\frac{2x}{x+2}$，g（x）=4e^x-（x+2）²，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（-1，+∞），
由f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=-$\frac{x}{x+1}$，解得：x=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）在x=0时取极大值f（0）=0，同时亦是最大值，
∴f（x）的最大值是0；
（2）∵x＞0，故原不等式等价于：e^-x+$\frac{2x}{x+2}$＞$\frac{ln（1+x）}{x}$，
令f（x）=e^-x+$\frac{2x}{x+2}$，则f′（x）=$\frac{{4e}^{x}{-（x+2）}^{2}}{{{e}^{x}（x+2）}^{2}}$，
令g（x）=4e^x-（x+2）²，则g′（x）=4（e^x-$\frac{x+2}{2}$），
而由（1）得：ln（1+x）≤x，
∴e^x≥1+x＞1+$\frac{x}{2}$，
∴g′（x）＞0，则g（x）在x＞0递增，
∴g（x）＞g（0）=0，从而f（x）在x＞0递增，
∴f（x）＞f（0）=1，
由（1）得：$\frac{ln（1+x）}{x}$＜1在x＞0上恒成立，
综上，e^-x+$\frac{2x}{x+2}$＞$\frac{ln（1+x）}{x}$在x＞0上恒成立，
从而原不等式成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．