Question

过点M（1，2）的直线l
（1）当l在两个坐标轴上截距的绝对值相等时，求直线l的方程；
（2）l与坐标轴的正半轴的交点分别为A、B，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）分类讨论：当直线过原点时易得直线方程为2x-y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，分别代入点可得a值，可得方程；（2）由题意设直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），可得

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，可得面积的最小值和此时直线的方程．

解答： 解：（1）当直线过原点时，直线的斜率为

2-0

1-0

=2，
∴直线的方程为y=2x，即2x-y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，
分别代入点M（1，2）可得a=3或a=-1，
∴所求直线的方程为

x

3

+

y

3

=1或

x

-1

+

y

1

=1
化为一般式可得x+y-3=0或x-y+1=0，
综上可得直线l的方程为：2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0
（2）由题意设直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），
∴由直线l过点M可得

1

a

+

2

b

=1，
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

=

2 2

ab

，
∴

ab

≥2

2

，ab≥8
∴△AOB面积S=

1

2

ab≥

1

2

×4=2，
当且仅当

1

a

=

2

b

即a=2且b=4时取等号
∴△AOB面积的最小值4，
此时直线l方程为

x

2

+

y

4

=1，化为一般式可得：2x+y-4=0

点评：本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式和三角形的面积，属中档题．