Question

已知f（x）为一次函数，g（x）为二次函数，且f[g（x）]=g[f（x）]，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由于f（x）为一次函数，g（x）为二次函数，可设f（x）=mx+n，g（x）=ax²+bx+c，m，a≠0．由于f[g（x）]=g[f（x）]，可得m（ax²+bx+c）+n=a（mx+n）²+b（mx+n）+c，化为（ma-am²）x²+（mb-2amn-bm）x+mc-an²-bn-c=0，得到

ma-am2=0 mb-2amn-bm=0 mc-an2-bn-c=0

，解得m，n即可．

解答： 解：∵f（x）为一次函数，g（x）为二次函数，
设f（x）=mx+n，g（x）=ax²+bx+c，m，a≠0．
∵f[g（x）]=g[f（x）]，
∴m（ax²+bx+c）+n=a（mx+n）²+b（mx+n）+c，
化为（ma-am²）x²+（mb-2amn-bm）x+mc-an²-bn-c=0，
∴

ma-am2=0 mb-2amn-bm=0 mc-an2-bn-c=0

，解得m=1，n=0．
∴f（x）=x．

点评：本题考查了一次函数、二次函数的解析式、恒等式问题，考查了计算能力，属于中档题．