Question

已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x²在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，设矩形的面积为S，则S=2x（4-x²），0＜x＜2．由S′（x）=8-6x²=0，利用导数性质能求出这种矩形中面积最大者的边长．

解答： 解：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（-x，y），
在x轴上的两个顶点为（-x，0）、（x，0），其中0＜x＜2．
设矩形的面积为S，则S=2x（4-x²），0＜x＜2．
由S′（x）=8-6x²=0，得x=

2

3

3

，
∵x∈(0，

2 3

3

)时，S′（x）＞0，S（x）是增函数；
x∈（

2 3

3

，2）时，S′（x）＜0，S（x）是减函数，
∴x=

2 3

3

是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，
∴这种矩形中面积最大者的边长为2x=

4 3

3

．

点评：本题考查种矩形中面积最大者的边长的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．