Question

设f（x）=2x³+ax²+bx+c的导数为f′（x），若y=f′（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，且在x=1处取得极小值-6．
（Ⅰ）求实数a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-3，3]的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+

a

6

)2-

a2

6

+b，由已知条件利用导数性质能求出实数a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1），令f'（x）=0，得x=-2，x=1，列表讨论，能求出函数f（x）在[-3，3]的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³+ax²+bx+c，
∴f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+

a

6

)2-

a2

6

+b
由题意知

- a 6 =- 1 2 f′(1)=6+2a+b=0 f(1)=2+a+b+c=-6

，解得

a=3 b=-12 c=1

，
经检验，得a=3，b=-12，c=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
f'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）
令f'（x）=0，得x=-2，x=1
列表如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	10	增	极大值21	减	极小值-6	增	46

当x=1时，f（x）有最小值也是极小值-6，当x=3时，f（x）有最大值46．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．