Question

已知a∈R，函数f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求曲线y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a＜

2

3

，求|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，分类讨论，即可得出曲线y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分类讨论求|f（x）|的最大值．根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减；
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增；
当0＜a＜1时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（Ⅲ）当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当0＜a＜

2

3

时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

，极小值f（x₂）=1-2（1-a）

1-a

，
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0．
从而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
当0＜a＜

2

3

时，f（x₁）＞f（0）＞|f（2）|．
故|f（x）|_max=f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答的关键，此题属于难题．