题目内容
已知数列{an}中，满足a1=1，an=2an-1+2n-1，设bn=
（1）证明数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
| an |
| 2n-1 |
（1）证明数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用等差数列的定义进行证明；
（2）先求出数列{bn}的通项，再求出数列{an}的通项公式．
（2）先求出数列{bn}的通项，再求出数列{an}的通项公式．
解答：
（1）证明：由题知，an+1=2an+2n
又∵bn+1-bn=
-
=
-
=
+1-
=1
故{bn}是等差数列
（2）解：∵b1=a1=1，∴bn=1+（n-1）•1=n，
∴an=n•2n-1
又∵bn+1-bn=
| an+1 |
| 2n |
| an |
| 2n-1 |
| 2an+2n |
| 2n |
| an |
| 2n-1 |
| an |
| 2n-1 |
| an |
| 2n-1 |
故{bn}是等差数列
（2）解：∵b1=a1=1，∴bn=1+（n-1）•1=n，
∴an=n•2n-1
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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