题目内容
在△ABC中，已知∠A=
，边BC=2
，设∠B=x，△ABC的周长记为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间及其值域．
| π |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间及其值域．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）利用正弦定理分别求得AB，AC，进而表示出三角形的周长得到y的表达式．根据三角形内角和确定x的范围．
（Ⅱ）利用三角函数的性质求得函数的单调区间和最大，最小值．
（Ⅱ）利用三角函数的性质求得函数的单调区间和最大，最小值．
解答：
解：（Ⅰ）由正弦定理知
=
=
∴AC=
•sinx=4sinx，
同理可求得AB=4sin（
-x），
∴y=f（x）=4sinx+4sin（
-x）+2
，=4
sin（x+
）+2
，（0＜x＜
）
（Ⅱ）当2kπ-
≤x+
≤2kπ+
，即2kπ-
≤x≤2kπ+
时，k∈Z，函数单调增，
当2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，即2kπ+
≤x≤2kπ+
时，k∈Z，函数单调减，
∵0＜x＜
，
∴函数的单调增区间为（0，
），单调减区间是（
，
），
函数的值域为（4
，6
]．
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinx |
| AB |
| sinC |
∴AC=
| BC |
| sinA |
同理可求得AB=4sin（
| 2π |
| 3 |
∴y=f（x）=4sinx+4sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）当2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∵0＜x＜
| 2π |
| 3 |
∴函数的单调增区间为（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
函数的值域为（4
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．考查学生综合运用所学知识的能力．
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