Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，bccosA=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若$b+c=4\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅱ）由bc=5，又b+c=$4\sqrt{2}$，由余弦定理即可解得a的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cos A=2cos²$\frac{A}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sin A=$\frac{4}{5}$，
又bccosA=3，
∴bc=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=$4\sqrt{2}$，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos A=（b+c）²-2bc-2bccosA=16，
∴a=4． …（12分）

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．