Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，AC⊥PB，点E为PD上一点，AE=$\frac{1}{2}$PD，PB∥平面AEC，求证：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 由AB⊥AC，AC⊥PB，即可证AC⊥AP，连接BD，交AC与点O，连接OE，有DO=OB，由PB∥平面AEC，可证PB∥OE，从而可得PE=ED，结合AE=$\frac{1}{2}$PD，可得点P，A，D三点共圆，可得：PA⊥AD，即可证明PA⊥平面ABCD．

解答 证明：∵AB⊥AC，AC⊥PB，AB∩PB=B，
∴AC⊥平面ABP，
∵PA?平面ABP
∴AC⊥AP，
如图，连接BD，交AC与点O，连接OE，
∵底面ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵PB∥平面AEC，PB?平面PAB，平面PAB∩平面AEC=OE，
∴PB∥OE，
∴PE=ED，
∵AE=$\frac{1}{2}$PD，
∴PE=ED=AE，即：点P，A，D三点共圆，可得：PA⊥AD，
又∵AC∩AD=A，底面ABCD是平行四边形，
∴PA⊥平面ABCD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．