Question

14．已知函数f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• B． $（-\frac{1}{4}，+∞）$
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 可先设g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x，根据要求的不等式，可以判断g（x）的奇偶性及其单调性，容易求出g（-x）=-g（x），通过解析式可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（-x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集

解答 解：设g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x，
则g（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$-x）-2017^x=-g（x），
由解析式易知g（x）在R上单调递增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞-g（x），即为g（3x+1）＞g（-x），
得3x+1＞-x，
解得x＞-$\frac{1}{4}$，
∴原不等式的解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查对数的运算，平方差公式，奇函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用．构造新函数g（x）是解答的关键．