Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，则S_n=3ⁿ-n-1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，可得：$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=3，a₁=1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=3，a₁=1．
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为3，首项为2．
∴a_n+1=2×3^n-1，即a_n=2×3^n-1-1，
∴S_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n=3ⁿ-n-1．
故答案为：3ⁿ-n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．