Question

15．已知$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0），则当mn取得最小值时，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}$x．

Answer 1

分析 m＞0，n＞0，可得1=$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{1}{n}}$，可得：mn≥8，当且仅当m=2n=4时取等号．即可得出双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的渐近线方程：y=±$\frac{n}{m}$x．

解答 解：∵m＞0，n＞0，∴1=$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{1}{n}}$，可得：mn≥8，当且仅当m=2n=4时取等号．
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的渐近线方程为：y=±$\frac{n}{m}$x，即y=$±\frac{1}{2}$x．
故答案为：y=$±\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查了基本不等式的性质、双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．