Question

4．设函数f（x）=log₂（5-|x+1|-|x-2|）的定义域为D．
（1）求集合D；
（2）设a，b∈D，证明：$|{a+b}|＜|{3+\frac{ab}{3}}|$．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质求出不等式的解集，从而求出集合D即可；
（2）根据绝对值的性质证明即可．

解答 （1）解：|x+1|+|x-2|＜5，
当x≥2时，|x+1|+|x-2|=2x-1＜5，解得2≤x＜3，
当-1＜x＜2时，|x+1|+|x-2|=3＜5恒成立，
当x≤-1时，-1-x-x+2＜5，解得-2＜x≤-1，
综上，定义域D={x|-2＜x＜3}．
（2）证明：原不等式?3|a+b|＜|9+ab|
?9a²+18ab+9b²＜81+a²b²+18ab
?（a²-9）（b²-9）＞0．
由a，b∈D得a²＜9，b²＜9，
原不等式得证．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，是一道中档题．