Question

5．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₅=2，a₆+a₇+a₈=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n（2S_n+26n）=1，求证b₁+b₂+…+b_n=$\frac{n}{3n+3}$；
（3）求数列{（a_n-n+12）•3ⁿ}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的首项、公差、项和项数的关系列出方程求出首先和公差，得到通项公式；
（2）由（1）得S_n为=$\frac{n（-10+3n-13）}{2}$=$\frac{n（3n-23）}{2}$，b_n（2×$\frac{3{n}^{2}-23n}{2}$+26n）=1⇒b_n=$\frac{1}{3n（n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，加即可证明．
（3））（a_n-n+12）•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，利用错位相减法求T_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}满足：a₆+a₇+a₈=24．，所以a₇=8，
又a₅=2，∴即8-2=2d，解得d=3又a₁+4d=2，得a₁=-10
a_n=a₁+（n-1）d=3n-13；
（2）由（1）得S_n为=$\frac{n（-10+3n-13）}{2}$=$\frac{n（3n-23）}{2}$
∵b_n（2S_n+26n）=1，则b_n（2×$\frac{3{n}^{2}-23n}{2}$+26n）=1，⇒b_n=$\frac{1}{3n（n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{3n+3}$；
（3）∵（a_n-n+12）•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ
      T_n=1•3¹+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ
    3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹
-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-+（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，错位相减法求和，裂项求和，属于中档题．