Question

17．四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是$\frac{1}{8}$，表面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1．

Answer 1

分析 当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大；当AC⊥CD，AB⊥BD时，该四面体表面积取最大值．

解答 解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，
∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，
此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，
则AE=DE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴该四面体体积的最大值：
S_max=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．
∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，
面积都是S=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，
∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，
此时${S}_{△ADC}={S}_{{\;}_{△}ABC}$=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
四面体表面积最大值S_max=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．

点评 本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．