Question

9．已知关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集为$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，且a＞b，则$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集得出ab=1且a＞0；再化简$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集为$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ab=0}\end{array}\right.$，
即ab=1且a＞0；
又a＞b，∴a-b＞0；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+2ab+1}{a-b}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{3}{a-b}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当a-b=$\frac{3}{a-b}$，即a-b=$\sqrt{3}$时“=”成立；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集以及利用基本不等式求最值的应用问题，是综合性题目．