Question

曲线在矩阵的变换作用下得到曲线．
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．

Answer 1

（Ⅰ）矩阵；（Ⅱ）矩阵的特征值或．当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向量为．

试题分析：（Ⅰ）首先设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由可得再由点在曲线上，把代入求得的值，即可得矩阵；（Ⅱ）由，可得矩阵的特征值，根据特征向量的求法，分别列出方程组，即可求得其对应的特征向量．
试题解析：（Ⅰ）设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由点在曲线上，得，再由，解得．3分
（Ⅱ）由，解得：或． 5分
当时，由得对应的特征向量为；当时，由得对应的特征向量为．7分