Question

定义在R上的函数f（x）满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数f（x）的最小正周期是；②函数y=f（x）的图象关于点对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

Answer 1

【答案】分析：题目中条件：f（x+）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，从而可判断函数的对称轴．
解答：解：①：由题意可得f（x+3）=-f（x+）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为3，故①错误
②：由y=f（x-）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x-）向左平移 个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（-，0）对称，故②正确
③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（--x）=-f（ x），用 代换x，可得：f（--x）+f（x）=0
∴f（--x）=-f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．令t=+x，则f（-t）=f（t），则可得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故③正确
故选：B．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性对称性等函数知识的综合应用，解答本题的关键是熟练掌握函数的基本性质及一些常见结论的变形．