Question

定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，则f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，得出函数的周期性，再根据周期性将f（2010）用（0，4）的函数的值表示出来，即可求出函数值

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

∴f(x+4)=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f（x）
故函数的周期是4
∴f（2010）=f（2）
又x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，
∴f（2010）=f（2）=2²-1=3
故答案为3

点评：本题考查函数的周期性，求解本题，关键是根据所给的恒等式推导出函数的周期是4，再利用周期性对f（2010）进行化简，利用书籍中所给的x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，求值，这是此类题常用的思路，其特征是自变量比较大，此处的函数解析式不易求得，有此特征出现即可优先考虑周期性．本题也考查了利用题设条件进行推理论证的能力．