Question

20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．

Answer 1

分析：（1）通过函数F（x）是奇函数先求出b，在利用函数f（x）在x=-1处取极值可得f′（-1）=0求得c，则函数解析式求得．
（2）先求导数fˊ（x），在区间[-3，3]内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（1）∵函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，
∴F（-x）=-F（x），化简计算得b=3．
∵函数f（x）在x=-1处取极值，∴f′（x）=0．
f（x）=-2x³+3x²+cx，f′（x）=-6x²+6x+c
∴f′（-1）=-6-6+c=0，c=12．
∴f（x）=-2x³+3x²+12x，
（2）f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x²-x-2）．
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=2，

∴函数f（x）在[-3，-1]和[2，3]上是减函数，
函数f（x）在[-1，2]上是增函数．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．