题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
分析：（1）由已知中已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；
（2）由f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），结合（1）中所求的函数解析式，可得cos（x0+
π
3
）=
3
4
，进而求出sin（x0+
π
3
）的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．
解答：解；（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin（2x+
π
3
）与f（x）相差
T
4
+kT，k∈Z，即相差
π
4
+kπ，k∈Z，所以f（x）=Asin[2（x+
π
4
+kπ）+
π
3
]=Acos（2x+
π
3
）（或
f（x）=Asin[2（x-
π
4
+kπ）+
π
3
]=Acos（2x+
4π
3
）（舍），故f（x）=2cos（2x+
π
3
）．
（2）因为f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），即cos（2x0+
π
3
）=
3
4
，
因为x0∈[-
π
2
，
π
2
]，又cos(-
π
6
)=
3
2
＞
3
4
，y=cosx在[-
π
6
，0]单调递增，
所以x0+
π
3
∈[0，
π
2
]，所以sin(x0+
π
3
)=
1-(
3
4
)2
=
7
4
，
于是 cos（x0-
π
3
）=cos（x0+
π
3
-
2π
3
）
=cos（x0+
π
3
）cos
2π
3
+sin（x0+
π
3
）sin
2π
3

=
3
4
×(-
1
2
)+
7
4
×
3
2

=
21
-3
8
．
点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中根据已知条件，计算出函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
）的解析式是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
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