题目内容
设向量
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)．
（1）求证：(
+
)⊥(
-
)；
（2）当β=
，α∈[0，π]时，向量
+
与
-
的模相等，求角α；
（3）向量
，
满足|k
+
|=
|
-k
|，k＞0，将
与
的数量积表示为关于k的函数f（k），求f（k）的最小值及取得最小值时
与
的夹角．
| a |
| b |
（1）求证：(
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）当β=
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（3）向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、模的计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
（3）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
（2）利用向量的坐标运算、模的计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
（3）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
解答：
（1）证明：∵向量
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)．
∴
+
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
-
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∴(
+
)•(
-
)=（cos2α-cos2β）+（sin2α-sin2β）=1-1=0，
∴(
+
)⊥(
-
)；
（2）
+
=(
cosα+cosβ，
sinα+sinβ)，
-
=(cosα-
cosβ，sinα-
sinβ)．
∵向量
+
与
-
的模相等，
∴
=
，
化为cos（α-β）=0，
∵β=
，α∈[0，π]时，
∴-
≤α-β=
，
∴α-β=-
，
解得α=
．
（3）∵|k
+
|=
|
-k
|，|
|=|
|=1．
∴
=
，
又k＞0，
化为
•
=
=f（k）．
∴f(k)≥
=
，当且仅当k=1时取等号．
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴＜
，
＞=
．
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| 3 |
∵向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
∴
(
|
(cosα-
|
化为cos（α-β）=0，
∵β=
| 2π |
| 3 |
∴-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴α-β=-
| π |
| 2 |
解得α=
| π |
| 6 |
（3）∵|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
k2
|
| 3 |
|
又k＞0，
化为
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
∴f(k)≥
| 2k |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
∴cos＜
| a |
| b |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴＜
| a |
| b |
| π |
| 3 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式、向量的坐标运算、模的计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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若
（2x+
）dx=3+ln2，且a＞1，则a 的值为（ ）
| ∫ | a 1 |
| 1 |
| x |
| A、6 | B、4 | C、3 | D、2 |