Question

已知各项全不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=a_na_n+1，a₁=1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+a_n+1}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法，结合等差数列的求和公式，即可求数列{a_n+a_n+1}的前2n项和T_2n．

解答： 解：（I）∵S_n=a_na_n+1，a₁=1，①，
∴当n≥2，S_n-1=a_n-1a_n，②
①-②得a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=1，
即{a_2n-1}，{a_2n}都是公差为1的等差数列，
在①中，令n=1，得a₁=a₁a₂，
解得a₂=1，
∴a_n=

n+1 2 ， n是奇数 n 2 ， n是偶数

．
（II）T_2n=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=2（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）+2（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）-a₁
=2×

n(n+1)

2

+2×

n(n+1)

2

+(n+1)-1=2n²+3n．

点评：本题主要考查数列的通项公式，以及数列求和，根据数列的递推公式求出数列的通项公式以及利用分组求和法是解决本题的关键．