Question

8．已知递增的等比数列{a_n}满足：a₂•a₃=8，a₁+a₄=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列$\left\{{b_n}\right\}：{b_n}=2（{2n-1}）{a_n}（n∈{N^+}）$，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的性质得到a₂a₃=a₁a₄=8，又a₁+a₄=9，由此求得首项和公比；根据等比数列的通项公式求得a_n=2^n-1；
（2）利用“错位相减法求和法”进行解答即可．

解答 解：（1）由题意，得a₂a₃=a₁a₄=8，又a₁+a₄=9，
所以a₁=1，a₄=8，或 a₁=8，a₄=1，
由{a_n}是递增的等比数列，知q＞1所以a₁=1，a₄=8，且q=2，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=1×{2^{n-1}}={2^{n-1}}$，即a_n=2^n-1；
（2）由（1）得$b{\;}_n=2（{2n-1}）{a_n}=（{2n-1}）{2^n}$，
所以${T_n}=1•{2^1}+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-1）•{2^n}$
所以$2{T_n}=1•{2^2}+3•{2^3}+5•{2^4}+…+（2n-1）•{2^{n+1}}$，
两式相减，得
$-{T_n}=1•{2^1}+2（{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）-（2n-1）{2^{n+1}}$，
得${T_n}=（{2n-3}）•{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．