Question

1．已知数列{a_n}满足：${log_3}a{\;}_n+1={log_3}{a_{n+1}}，（{n∈{N^+}}）$，且a₂+a₄+a₆=9，则${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$的值为-5．

Answer 1

分析 由已知数列递推式结合对数的运算性质可得数列{a_n}是公比为3的等比数列，由已知a₂+a₄+a₆=9，结合等比数列的性质可得a₅+a₇+a₉的值，代入${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$得答案．

解答 解：由${log_3}a{\;}_n+1={log_3}{a_{n+1}}，（{n∈{N^+}}）$，得log₃（3a_n）=log₃a_n+1，
∴a_n+1=3a_n，且a_n＞0，
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列，
又a₂+a₄+a₆=9，∴${a}_{5}+{a}_{7}+{a}_{9}=（{a}_{2}+{a}_{4}+{a}_{6}）•{q}^{3}$=3⁵．
∴${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{3}^{5}=-5$．
故答案为：-5．

点评 本题考查数列递推式，考查了对数的运算性质，考查等比数列的性质，属中档题．