Question

已知a，b，c都是正数，求

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

的最小值．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

），再利用柯西不等式，即可得出结论．

解答： 解：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）
=

1

2

[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）≥

1

2

(1+1+1)2=

9

2

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

．
∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

的最小值为

3

2

．

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．