Question

14．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分两层）从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数），结果如表．
表1：A类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	8	x	3	2

表2：B类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	6	y	27	18

（1）确定x，y的值；
（2）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？

生产能力分组 工人类别	[110，130）	[130，150）	总计
A类工人	20	5	25
B类工人	30	45	75
总计	50	50	100

（3）工厂规定生产零件数在[130，140）的工人为优秀员工，在[140，150）的工人为模范员工，那么在样本的A类工人中的优秀员工和模范员工中任意抽2人进行示范工作演示，试写出所抽的模范员工的人数X的分布列和期望．
下面的临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根据总体数和样本容量，得到每个个体被抽到的概率，得到两个组各自需要抽取的人数，减去已知的人数，得到x，y的值，根据所给的两个频率分布表做出频率分布直方图．
（2）先根据所给的数据得到列联表，把列联表中的数据代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较得到对应的概率的值，得到在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为工人的生产能力与工人的类别有关系；
（3）求出X的取值，得出相应的概率，即可得出期望．

解答 解：（1）∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A类工人750名B类工人，
∴要从A类工人中抽取25名，从B类工人中抽取75名，（2分）
∴x=25-8-3-2=12，y=75-6-27-18=24．（4分）

生产能力分组 工人类别	[110，130）	[130，150）	总计
A类工人	20	5	25
B类工人	30	45	75
总计	50	50	100

由列联表中的数据，得K²的观测值为
k=$\frac{100×（20×45-5×30）^{2}}{25×75×50×50}$=12＞10.828．（10分）
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为工人的生产能力与工人的类别有关系．（8分）
（3）X=0，1，（2分）
分布列为

X	0	1	2
P（X）	0.3	0.6	0.1

E（X）=0×0.3+1×0.6+2×0.1=0.8（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的应用，考查分层抽样，考查分布列与期望，本题解题的关键是根据根据分层抽样做出两个数值，再进行下面的画图和列表，本题是一个中档题目．