Question

12．若二次函数f（x）=（m-1）x²+2mx+3是定义在[-3a，4-a]上的偶函数，则f（x）的值域为[-6，3]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质可知，函数定义域要关于原点对称，解出a的值，函数图象关于y对称，求出m，得到函数的解析式，利用二次函数的图象及性质求其值域即可．

解答 解：由题意：二次函数f（x）=（m-1）x²+2mx+3是定义在[-3a，4-a]上的偶函数，
∴-3a+4-a=0，
解得：a=1，
所以函数的定义域为[-3，3]．
∵偶函数图象关于y对称，
∴2m=0
解得：m=0．
∴二次函数f（x）=-x²+3，定义域为[-3，3]．
开口向下，当x=0时，f（x）取得最大值为3．
当x=-3或3时，f（x）取得最小值值为-6．
所以f（x）的值域为[-6，3]．
故答案为[-6，3]．

点评 本题考查了函数的奇偶性是的定义域要关于原点对称和二次函数的性质的运用问题．属于中档题．