题目内容
20．已知数列{an}的前n项和为An，nan+1=An+$\frac{3}{2}$n（n+1），a1=2；等比数列{bn}的前n项和为Bn，Bn+1、Bn、Bn+2成等差数列，b1=-2．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Sn．
分析 （1）利用递推关系可得：$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，再利用等差数列的通项公式可得：An，再利用递推关系可得an．
利用等差数列与底边数列的通项公式即可得出bn．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
解答 解：（1）∵$n{a_{n+1}}={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，∴$n（{{A_{n+1}}-{A_n}}）={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$n{A_{n+1}}=（{n+1}）{A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，
∵a1=2，∴$\frac{A_1}{1}=2$，
∴$\frac{A_n}{n}=2+（{n-1}）\frac{3}{2}$，∴${A_n}=\frac{{n（{3n+1}）}}{2}$，
∴n≥2时，an=An-An-1=3n-1；n=1时，a1=2．
综上，an=3n-1，
设数列{bn}的公比为q，∵Bn+1、Bn、Bn+2成等差数列，
∴2Bn=Bn-1+Bn+2，
即2Bn=Bn+bn-1+Bn+bn+1+bn+2，∴-2bn+1=bn+2，∴q=-2，
∵b1=-2，∴${b_n}={（{-2}）^n}$．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，
则Sn=2×（-2）+5×（-2）2+8×（-2）3+…+（3n-1）•（-2）n，
-2Sn=2×（-2）2+5×（-2）3+…+（3n-4）•（-2）n+（3n-1）•（-2）n+1，
作差得：3Sn=-4+3[（-2）2+（-2）3+…+（-2）n]-（3n-1）•（-2）n+1
=2+3×$\frac{-2×[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（3n-1）•（-2）n+1，
∴${S_n}=-n{（{-2}）^{n+1}}$．
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
名校课堂系列答案
| A． | $\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}}\right.$ | B． | $\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}}\right.$ | ||
| C． | $\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≤0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}}\right.$ | D． | $\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≤0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}}\right.$ |
