Question

【题目】已知某单位有甲、乙、丙三个部门，从员工中抽取7人，进行睡眠时间的调查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（2）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

Answer 1

【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）.

【解析】

（1）由题意可知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．根据古典概型的计算公式可得：

P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，3)，这样求出X的所有可能取值所对应的概率，最后列出离散型随机变量分布列，再根据数学期望公式进行求解即可；

（2）根据事件的运算，结合（1）的结论、互斥事件的概率公式进行求解即可.

（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，3)．

，

，

，

，

所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

随机变量X的数学期望；

（2）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

则A＝B∪C，且B与C互斥．

由（1）知，P（B）＝P(X＝2)，P（C）＝P(X＝1)，

故P（A）＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝．

所以，事件A发生的概率为．