Question

【题目】函数f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值为t．
（1）求t的值；
（2）若正实数a，b满足a+b=4，求证 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1： ，由函数的图象知最小值t=4

解法2：由绝对值三角不等式，得f（x）=|x+3|+|x﹣1|≥|（x+3）﹣（x﹣1）|=4，即t=4．

（2）证明：（解法1）基本不等式】a+b=4，所以 ，

当且仅当 ，即 时取等号．所以 ．

（解法2）柯西不等式】因为a+b=4，所以 ，∴ 当且仅当 ，即 时取等号．所以 ．

【解析】本题分两个小题，（1）考查绝对值不等式，方法一运用不等式的定义进行化简，使用数形结合思想求得最小值；方法二使用绝对值三角不等式，更加简单明了。（2）考查不等式的证明，方法一给原式左边乘以，展开后使用基本不等式求出最小值，从而证明。方法二使用柯西不等式，直接简单。注意等号成立的条件。