Question

【题目】已知椭圆G： +y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1 ， 且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．
（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM||DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可知F1（﹣1，0），又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y=x+1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 解得 或 ，

所以AB中点 ，

于是直线OM的斜率为 ．

（2）假设存在直线l，使得|AM|2=|CM||DM|成立．

当直线l的斜率不存在时，AB的中点M（﹣1，0），

所以 ， ，矛盾；

故直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），

联立椭圆G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，

于是 ，

点M的坐标为 ， ．

直线CD的方程为 ，联立椭圆G的方程，得 ，

设C（x0，y0），则 ，

由题知，|AB|2=4|CM||DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），

即 ，

化简，得 ，故 ，

所以直线l的方程为 ， ．

【解析】（1）根据题意写出过左焦点的直线方程，联立椭圆方程由韦达定理，得出中点坐标，计算OM所在直线的斜率；（2）假设这样的直线存在，分情况讨论，当直线斜率不存在时，可得出条件不成立；当直线斜率存在时，由点斜式写出直线方程，联立椭圆方程由韦达定理表示出中点M的坐标，以及弦长AB，再写出CD所在直线的方程，同样联立椭圆方程写出C点坐标，表示出OC的长度，当条件成立时可解出k的值，从而得到直线方程.