题目内容
【题目】已知椭圆 
=1（a＞b＞0）经过点（ 
，﹣ 
），且椭圆的离心率e= 
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．
【答案】
（1）解：由 
，得 
，
即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2． …
由椭圆过点 
知， 
． …
联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3． …
故椭圆的方程是 
．…
（2）证明：直线PQ恒过一个定点 
．…
椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况．
1°当直线AC的斜率不存在时，
AC：x=1，则 BD：y=0．由椭圆的通径得P（1，0），
又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点 ．…
2°当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x﹣1）（k≠0），
则 BD： 
．
又设点A（x1，y1），C（x2，y2）．
联立方程组 
，
消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…
所以 
． 
． 
．…
由题知，直线BD的斜率为﹣ 
，
同理可得点 
．…
．
，…
即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0．
令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得 
．
故直线PQ恒过一个定点 ；…
综上可知，直线PQ恒过一个定点 ．…
【解析】（1）由离心率可得a与c的关系，过点
可得a与b的关系，再根据
，即可得出椭圆方程；（2）当斜率不存在时，得出此时过定点
，当斜率存在时，根据点斜式设出两相互垂直的直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可得P、Q的坐标，再得出PQ所在直线方程，经检验PQ过点。
挑战100单元检测试卷系列答案
【题目】随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，泉城各医院产科就已经是一片忙碌至今热度不减．卫生部门进行调查统计期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝；
（Ⅰ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询，
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；
（II）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
P（k≥k市） | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
k市 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
K2= 
．
