Question

12．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若-1≤λ≤2，2≤μ≤3，则$|{λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}}|$的取值范围是（　　）

• A． [1，10]
• B． $[{\sqrt{5}，\sqrt{13}}]$
• C． [1，5]
• D． $[{2，\sqrt{13}}]$

Answer 1

分析 用坐标表示出λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$以及模长，根据λ、μ的取值范围，转化为不等式组表示的平面区域内的点到原点的距离最值问题，即可求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，1），
∴λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=（λ，μ），
∴|λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+μ}^{2}}$；
又∵-1≤λ≤2，2≤μ≤3，
∴λ、μ满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1≤λ≤2}\\{2≤μ≤3}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的矩形CDEF及其内部区域，
其中C（2，2），D（2，3），E（-1，3），F（-1，2），
则区域内的点到原点的距离最小值为|OP|=2，
最大值为|OD|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
∴$|{λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}}|$的取值范围是[2，$\sqrt{13}$]．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的坐标应用问题，也考查了线性规划的应用问题，是综合性题目．