Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x（其中a为常数）
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）求方程f（x）-g（x）=0在区间[-1，3]上实数解的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）化简方程f（x）-g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间[-1，3]上实数解的个数．

解答： （本小题满分13分）
解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），…（1分）
令f'（x）=0，得x=a或

a

3

，而二次函数g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，
∴

a-1

2

=a⇒a=-1或

a-1

2

=

a

3

⇒a=3；
综上：a=3或a=-1．…（4分）
当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（-∞，1]，[3，+∞），减区间是（1，3）…（5分）
当a=-1时，y=f（x）的单调增区间是(-∞，-1]， [-

1

3

，+∞)，减区间是(-1，-

1

3

)； …（6分）
（2）f(x)-g(x)=x(x-a)2-[-

x

2

+(a-1)x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=(x-a)[

x

2

+(1-a)x+1]，…（8分）
h(x)=

x

2

+(1-a)x+1，△=（a+1）（a-3）
1°当-1＜a＜3时，△＜0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a∈[-1，3]，满足题意，
即原方程有一解，x=a∈[-1，3]；        …（9分）
2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3；
3°当a=-1时，△=0，h（x）=0的解为x=-1，故原方程有一解，x=-1；
4°当a＞3时，△＞0，由于h（-1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13-3a
若13-3a＜0⇒a＞

13

3

时，h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；
若13-3a=0⇒a=

13

3

，h（x）=0在[-1，3]上有两解，故原方程有两解
若13-3a＞0⇒3＜a＜

13

3

时，h（x）=0在[-1，3]上两解，故原方程有两解；
5°当a＜-1时，△＞0，由于h（-1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13-3a＞0，
h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；     …（11分）
综上可得：当3≤a≤

13

3

时，原方程在[-1，3]上两解；当a＜3或a＞

13

3

时，原方程在[-1，3]上有一解…（13分）．

点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．