Question

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．
(1) 若三角形是底边F₁F₂长为6，腰长为5的等腰三角形，求“果圆”的方程；
(2)若“果圆”方程为：，过F₀的直线l交“果圆”于y轴右边的Q，N点，求△OQN的面积S_△OQN的取值范围
(3) 若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

Answer 1

（1），
（2）
（3）或

(I)∵
∴，，
于是，c²=16，a²=b²+c²=41，
所求“果圆”方程为，
(Ⅱ)①若直线l的斜率k存在，则由图可知，k²>3．设直线l的方程为：y=k(x-1)，设点Q，N的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)
由消x，得
∴，
∴

∵


②若直线l⊥x轴，则︱QN︱=3，故
综上，得
（3）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．设，则

，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上当位于“果圆”的半椭圆上时．             

．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．                                       
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．                               
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．