Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是BC，A₁B₁的中点，则异面直线AD₁与EF所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：取CC₁的中点M，连接MF及C₁F，则∠MEF就是所求的角（或其补角），再在三角形MEF中利用余弦定理求出所求角的余弦值．

解答： 解：设正方体棱长为2，取棱C₁C的中点M，连接ME，MF，C₁F，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且E为BC中点，F为A₁B₁中点，
∴EM∥BC₁∥A₁D₁，∴∠MEF就是异面直线AD₁，EF所成的角，
∴EM=

1

2

A1D1=

2

，又C₁F=

B1F2+B1C12

=

1+22

=

5

，
∴MF=

C1F2+C1M2

=

1+5

=

6

，同理EF=

6

，
∴在△MEF中，由余弦定理得cos∠MEF=

6 2+ 2 2- 6 2

2 2 • 6

=

3

6

．

故答案为：

3

6

．

点评：求异面直线所成的角，一般利用平移，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，然后通过解三角形求解（一般利用余弦定理）；注意异面直线所成的角是锐角或直角，因此所求的余弦值须为正数或0．