Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

3 5

5

，点P是直线x=

a2

3

上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足

PF2

•

QF2

=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率公式和双曲线的a，b，c的关系，即可求得a；
（2）设出P（

5

3

，m），设Q（x₀，y₀），代入双曲线的方程，再由

PF2

•

QF2

=0，得到方程，再由直线的斜率公式，得到直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值

4

5

．

解答： （1）解：双曲线E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的b=2，c²=a²+4，
由于离心率为

3 5

5

，即e=

c

a

=

3 5

5

，
即有

a2+4

a2

=

9

5

，解得，a=

5

；
（2）证明：由于点P是直线x=

5

3

上任意一点，可设P（

5

3

，m），
再由Q为双曲线

x2

5

-

y2

4

=1一点，可设Q（x₀，y₀），
则

x02

5

-

y02

4

=1，即y₀²=4（

x02

5

-1）．
由F₂（3，0），
则

PF2

•

QF2

=（

4

3

，-m）•（3-x₀，-y₀）=0，
即有4-

4

3

x₀+my₀=0，即有my₀=-4+

4

3

x₀，
则k_PQ•k_OQ=

m-y0

5 3 -x0

•

y0

x0

=

my0-y02

x0( 5 3 -x0)

=

4 3 x0-4- 4 5 x02+4

x0( 5 3 -x0)

=

4 5 x0( 5 3 -x0)

x0( 5 3 -x0)

=

4

5

．
则直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．