题目内容
证明：函数f（x）=2+
在（0，+∞）上为减函数．
| 1 |
| x |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：证明题,函数的性质及应用
分析：利用函数的单调性定义进行证明即可．
解答：
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（2+
）-（2+
）
=
-
=
；
∵0＜x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2-x1＞0；
∴
＞0，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
则f（x1）-f（x2）=（2+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=
| x2-x1 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2-x1＞0；
∴
| x2-x1 |
| x1x2 |
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
点评：本题考查了利用函数的单调性定义证明函数在某一区间上的单调性问题，是基础题目．
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