题目内容

设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．
考点：反证法与放缩法
专题：证明题,反证法,推理和证明
分析：设存在有理根，则x=
-2p±
4p2-8q
2
中至少有一个为有理数，可得存在有理数a使：4p2-8q=a2．设a=2b，再分类讨论，得出矛盾，即可证明结论．
解答： 证明：设存在有理根则x=
-2p±
4p2-8q
2
中至少有一个为有理数．
∴
4p2-8q
为有理数
即存在有理数a使：4p2-8q=a2．
p，q是奇数，a整数
可设a=2b，∴p2-2q=b2，
∴p2-b2=2q
∴（p-b）（p+b）=2q
若b奇数，则p-b，p+b偶数，则2q=（p-b）（p+b）为4的倍数，q为偶数，矛盾
若b偶数，则p-b，p+b奇数，则2q=（p-b）（p+b）为奇数，矛盾，
∴假设不成立，
∴p，q是奇数，方程x2+2px+2q=0没有有理根．
点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．
练习册系列答案
相关题目
对任意的a、b∈R，a≠b，且a+b=2，集合A={x|m＜x＜a2+b2}非空，则m的取值范围是（　　）
A、m＜2B、m≤2
C、m＞2D、m≥2
将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不同的分配方法数为（　　）
A、12B、16C、14D、18
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率e=
6
3
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E标准方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆E上的两点，
m
=(x1，
3
y1)，
n
=(x2，
3
y2)，且
m
•
n
=0，设M（x0，y0），且
OM
=cosθ•
OP
+sinθ•
OQ
（θ∈R），求x02+3y02的值；
（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线?1，?2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．
证明：函数f（x）=2+
1
x
在（0，+∞）上为减函数．
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（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若
m
=（sinB，sinC），
n
=（cosB，cosC），求
m
•
n
的取值范围．
若（3
x
-
2
5x
）n（n∈N*）的展开式中含有常数项，则n的最小值为
 
．
某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个．为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本．现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为
 
．
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若关于x的方程
1
f(x)-4
=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

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