Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．试用数学归纳法证明：a_n≥2ⁿ-1．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，a₁≥1，a_n+1≥(an+1)2-1，利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，易证结论成立；（2）假设n=k（k≥1）且k∈N^*时结论成立，即a_k≥2^k-1，去证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥(an+1)2-1…（3分）
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁≥2¹-1=1，结论成立；…（5分）
（2）假设n=k（k≥1）且k∈N^*时结论成立，即a_k≥2^k-1，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1≥(ak+1)2-1≥2^2k-1≥2^k+1-1…（9分）
即n=k+1时，结论也成立．…（11分）
由（1）、（2）知，对任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ-1．…（12分）

点评：本题考查数学归纳法，着重考查推理与证明的能力，证明当n=k+1时，合理放缩是关键，属于中档题．