Question

若实数x，y满足（x-2）²+y²=3．求：
（1）

y

x

的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）（x-4）²+（y-3）²的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（1）

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设

y

x

=k，即y=kx，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值；
（3）（x-4）²+（y-3）²是圆上点与点（4，3）的距离的平方，根据几何意义可求出最大值和最小值．

解答： 解：（1）原方程表示以（2，0）为圆心，

3

为半径的圆，

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设

y

x

=k，即y=kx
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时

|2k-0|

k2+1

，∴k=±

3

，
∴

y

x

的最大值为

3

，最小值为-

3

；
（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时

|2-0+b|

2

=

3

，解得b=-2±

6

，
所以y-x的最小值为-2-

6

；
（3）（x-4）²+（y-3）²是圆上点与点（4，3）的距离的平方，
∵圆心为A（2，0），B（4，3），连接AB交圆于C，延长BA交圆于D，
|AB|=

(4-2)2+(3-0)2

=

13

，则|BC|=

13

-

3

，|BD|=

13

+

3

，
∴（x-4）²+（y-3）²的最大值为（

13

+

3

）²和最小值（

13

-

3

）²．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，解题的关键理解所求表达式的几何意义，属于中档题．