Question

10．设x＞0，则$y=x+\frac{4}{x^2}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，将函数的解析式变形可得$y=x+\frac{4}{x^2}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$，由基本不等式分析可得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$，化简即可得答案．

解答 解：根据题意，$y=x+\frac{4}{x^2}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
又由x＞0，则y=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$=3，
即函数$y=x+\frac{4}{x^2}$的最小值为3；
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是对函数解析式变形，配凑基本不等式的条件．